LT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ML
8 tháng 8 2015
Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)
Với a, b > 0, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.
Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi
\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.
\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)
\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)
\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)
T
24 tháng 7 2019
Áp dụng BĐT cauchy-Schwarz dạng Engel ta thu được:
\(E\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}=\frac{t^2}{t-2}\left(t=a+b>2\right)\)
Ta có: \(E\ge\frac{t^2}{t-2}+4\left(t-2\right)-4t+8\ge2\sqrt{\frac{t^2}{t-2}.4\left(t-2\right)}-4t+8\)
\(=4t-4t+8=8\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2 (chị tự giải kĩ ra nha)
24 tháng 7 2019
Áp dụng bđt Cô si ta có:
\(E=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a-1}.\frac{b^2}{b-1}}\)
Mặt khác:\(\frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-4a+4+4a-4}{a-1}=\frac{\left(a-2\right)^2}{a-1}+4\ge4\)
Tương tự: \(\frac{b^2}{b-1}\ge4\).Nhân theo vế suy ra \(E\ge8\)
\("="\Leftrightarrow a=b=2\)
24 tháng 11 2021
\(1,\text{Áp dụng Mincopxki: }\\ Q\ge\sqrt{\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2}\ge\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b\)
24 tháng 11 2021
\(2,\text{Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: }\\ P\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{1}=9\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
2 tháng 12 2021
Câu 1
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Câu 2:
\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)
Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24
LT
1
ND
Nguyễn Đức Trí
VIP
6 tháng 10 2023
Áp dụng BĐT :
\(\dfrac{a^{^2}}{x}+\dfrac{b^{^2}}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(x+y\right)}\) (Bạn tự chứng minh nhé)
\(F=\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+1+b+1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}\)
\(\Rightarrow F=\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}\ge\dfrac{2^2}{2+2}=1\)
Vậy \(Min\left(F\right)=1\)