HN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
9 tháng 11 2017
a2(b+c)2+5bc+b2(a+c)2+5ac≥4a29(b+c)2+4b29(a+c)2=49(a2(1−a)2+b2(1−b)2)(vì a+b+c=1)
a2(1−a)2−9a−24=(2−x)(3x−1)24(1−a)2≥0(vì )<a<1)
⇒a2(1−a)2≥9a−24
tương tự: b2(1−b)2≥9b−24
⇒P⩾49(9a−24+9b−24)−3(a+b)24=(a+b)−94−3(a+b)24.
đặt t=a+b(0<t<1)⇒P≥F(t)=−3t24+t−94(∗)
Xét hàm (∗) được: MinF(t)=F(23)=−19
⇒MinP=MinF(t)=−19.dấu "=" xảy ra khi a=b=c=13
7 tháng 12 2017
bài 1
ÁP dụng AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)
công tất cả lại ta có:
\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)
Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":
\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)
Vậy Min là \(1\)
dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
DN
31 tháng 12 2017
Áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}+\frac{a+b+ab}{b+1}\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}\ge2a-\frac{a\left(b+1\right)+b}{b+1}=2a-a-\frac{b}{b+1}=a-\frac{b}{b+1}\)
Mặt khác:
\(\frac{b}{b+1}\le\frac{b+1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2\left(b+1\right)}{a+b+ab}\ge a-\left(\frac{b+1}{4}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{b^2\left(c+1\right)}{b+c+bc}\ge b-\left(\frac{c+1}{4}\right)\)
\(\frac{c^2\left(a+1\right)}{c+a+ca}\ge c-\left(\frac{a+1}{4}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\left(a+b+c\right)-\left(\frac{a+1}{4}+\frac{b+1}{4}+\frac{c+1}{4}\right)=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{\left(a+b+c\right)+3}{4}\right)=3-\left(\frac{3+3}{4}\right)=\frac{3}{2}\)Vậy GTNN của P=3/2
(Thấy sai sai chỗ nào đó mà ko biết chỗ nào, ae thấy thì chỉ nhá )
31 tháng 12 2017
đoạn bạn dùng cô si ấy hình như bị sai do nếu a=b=c=1 thì sao lại a^2(b+1)/(a+b+ab)=(a+b+ab)/(b+1)
30 tháng 12 2017
Ta có: \(P=\Sigma\dfrac{a^2\left(b+1\right)}{a\left(b+1\right)+b}=\Sigma\dfrac{a^2\left(b+1\right)+ab-ab}{a\left(b+1\right)+b}=\Sigma\left(a-\dfrac{ab}{a\left(b+1\right)+b}\right)\)
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)-\Sigma\dfrac{ab}{a\left(b+1\right)+b}=3-\Sigma\dfrac{ab}{a\left(b+1\right)+b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy \(\Rightarrow a\left(b+1\right)+b=ab+b+a\ge3\sqrt[3]{a^2b^2}\)
\(\Rightarrow P\ge3-\Sigma\dfrac{ab}{\sqrt[3]{a^2b^2}}=3-\Sigma\dfrac{\sqrt[3]{ab}}{3}\)
mà \(\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a.b.1}\le\dfrac{a+b+1}{3}\)
\(3-\Sigma\dfrac{\sqrt[3]{ab}}{3}=3-\dfrac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ac}}{3}\ge3-\dfrac{\dfrac{2\left(a+b+c\right)+3}{3}}{3}=3-1=2\)
\(\Rightarrow P\ge2\) \(\Rightarrow MinP=2\) khi a = b = c =1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 12 2017
Lời giải khác:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{a^2(b+1)}{a+b+ab}+\frac{b^2(c+1)}{b+c+bc}+\frac{c^2(a+1)}{c+a+ac}\)\(=\frac{a^2}{\frac{a+b+ab}{b+1}}+\frac{b^2}{\frac{b+c+bc}{c+1}}+\frac{c^2}{\frac{c+a+ca}{a+1}}\)
\(\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{(a+1)(b+1)-1}{b+1}+\frac{(b+1)(c+1)-1}{c+1}+\frac{(c+1)(a+1)-1}{a+1}}\)
\(\Leftrightarrow P\geq \frac{9}{a+b+c+3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)}=\frac{9}{6-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{a+1+b+1+c+1}=\frac{9}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Do đó: \(6-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\leq 6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{9}{\frac{9}{2}}=2\)
Vậy P min là 2
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
12 tháng 6 2020
Bài cuối có Max nữa nhé, cần thì ib mình làm cho.
Giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow c\le1< 2\Rightarrow2-c>0\)
Ta có:\(P=ab+bc+ca-\frac{1}{2}abc=\frac{ab}{2}\left(2-c\right)+bc+ca\ge0\)
Đẳng thức xảy ra tại \(a=3;b=0;c=0\) và các hoán vị
L
0
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có \(M=\frac{a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)-2}\).
Đặt \(t=a+b\to M=\frac{t^2}{t-2}=t+2+\frac{4}{t-2}=\left(t-2\right)+\frac{4}{t-2}+4\ge2\sqrt{\left(t-2\right)\cdot\frac{4}{t-2}}+4=8.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là \(8.\)