NA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DQ
1
NA
0
HN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 6 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$
$\Rightarrow (a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)=2$
$\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}(1)$
Mặt khác:
Từ $a^2+b^2=1\Rightarrow a\leq 1; b\leq 1$
Mà $a,b>0$ nên $a^2\leq a; b^2\leq b$
$\Rightarrow 1=a^2+b^2\leq a+b(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow 1\leq a+b\leq \sqrt{2}$
Ta có đpcm.
VT
0
10 tháng 8 2018
Ta có: \(1=\frac{4}{a}+\frac{9}{b}\ge\frac{25}{a+b}\)
\(\Rightarrow a+b\ge25\)
Do đó: \(VT=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\ge25+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\)
\(\Rightarrow VT\ge25+\frac{25}{\sqrt{2}}=\frac{25}{2}\left(2+\sqrt{2}\right)\)
Đề: Cho a > 0; b > 0 và a + b = 1.
Chứng minh rằng: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)
~ ~ ~ ~ ~
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\), ta có:
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}\left(1+\frac{a+b}{ab}\right)^2\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\right)^2\)
\(=\frac{25}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 0,5