K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 7

Lời giải:
$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$=[(a+b+c)-2(ab+bc+ac)]^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$=[-2(ab+bc+ac)]^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$=4(ab+bc+ac)^2-2[(ab+bc+ac)^2-2abc(a+b+c)]$

$=4(ab+bc+ac)^2-2[(ab+bc+ac)^2]=2(ab+bc+ac)^2$
Ta có đpcm.

27 tháng 7 2023

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(2\right)\) (vì \(a+b+c=0\))

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^4+b^4+c^4\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

NV
25 tháng 3 2019

Biến đổi tương đương:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}\ge3\)

b/ \(VT=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+bc}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{ab+ac+bc}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+ac+bc\right)}+2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right)^2\left(ab+ac+bc\right)}{9\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)^2}}\ge\frac{8.3}{9}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

25 tháng 3 2019

Cám ơn

16 tháng 5 2019

1 ) (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ac)

<=> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac

<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ac

<=> a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 - 2ac + c^2 >= 0 

<=> (a - b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 >= 0 

( luôn đúng với mọi a ; b ; c )

( đpcm )

2 ) P =  \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}\)

AD BĐT Cô - si và BĐT phụ đã cmt ở trên  ta có : \(P\ge2.\frac{1}{3}+\frac{8.3.\left(ab+bc+ac\right)}{9\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c 

16 tháng 5 2019

Khôi Bùi : theo e ý 2 có thể đơn giản hóa vấn đề bằng cách đặt ẩn phụ

đặt \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}=t\left(t\ge3\right)\)

\(\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=\frac{t}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8}{9}t\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P\ge2.\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}t\ge\frac{2.1}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

17 tháng 1 2022
Ngu kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk