Gọi số có 10 chữ số cần tìm là: \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}};a_1\ne a_2\ne a_3\ne...\ne a_8\ne a_9\ne a_{10}\)
Ta có:
\(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}}⋮10\Rightarrow a_{10}=0\)
Số đã cho có dạng: \(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_90}\)
\(\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}⋮5\Rightarrow a_5=5\)
Số đã cho có dạng: \(\overline{a_1a_2a_3a_45a_6a_7a_8a_90}\)
Dễ thấy \(\overline{a_1}⋮1;\overline{a_1a_2a_3a_45a_6a_7a_8a_9}⋮9\) vì \(a_1+a_2+...+a_9=1+2+...+9=45⋮9\)
Mặt khác:
\(\left\{{}\begin{matrix}\overline{a_1a_2}⋮2\\\overline{a_1a_2a_3a_4}⋮4\\\overline{a_1a_2a_3a_45a_6}⋮6\\\overline{a_1a_2a_3a_45a_6a_7a_8}⋮8\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a_2;a_4;a_6;a_8\) là các số chẵn và là một trong các số: \(2;4;6;8\)
Vì vậy \(a_1;a_3;a_7;a_9\) là các số lẻ và là một trong các số \(1;3;7;9\)
- Xét tính chia hết cho 4
\(\overline{a_1a_2a_3a_4}⋮4\Rightarrow\overline{a_3a_4}⋮4\)
\(a_4\) là một trong 4 số chẵn \(2;4;6;8\) và \(a_3\) là một trong bốn số lẻ \(1;3;7;9\), ta có các trường hợp có thể xảy ra:
\(\overline{a_3a_4}=12;16;32;36;72;76;92;96\) suy ra \(a_4=2;6\)
Số đã cho có dạng:
\(\overline{a_1a_2a_325a_6a_7a_8a_90}\)
\(\overline{a_1a_2a_365a_6a_7a_8a_90}\)
- Xét tính chia hết cho 6
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\overline{a_1a_2a_3}⋮3\\\overline{a_1a_2a_3a_45a_6}⋮6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\text{}\)\(\left\{{}\begin{matrix}\overline{a_1a_2a_3}⋮3\\\overline{a_1a_2a_3a_45a_6}⋮3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a_1+a_2+a_3\right)⋮3\\\left(a_1+a_2+a_3+a_4+5+a_6\right)⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a_4+5+a_6\right)⋮3\)
Nếu \(a_4=2\Rightarrow2+5+a_6=(7+a_6)⋮3\Rightarrow a_6=8\)
\(a_4=6\Rightarrow6+5+a_6=(11+a_6)⋮3\Rightarrow a_6=4\)
Số đã cho có dạng:
\(\overline{a_1a_2a_3258a_7a_8a_90}\\ \overline{a_1a_2a_3654a_7a_8a_90}\)
- Xét tính chia hết cho 8
\(\overline{a_1a_2a_3a_45a_6a_7a_8a_90}⋮8\Rightarrow\overline{a_6a_7a_8}⋮8\)
- \(a_6=8\) ta có: \(\overline{a_1a_2a_3258a_7a_8a_90}⋮8\Rightarrow\overline{8a_7a_8}⋮8\) \(\Rightarrow\overline{8a_7a_8}=816;896\)
Suy ra \(a_2=4\) vì \(a_2\) là số chẵn và các chữ số khác 4 đã được sử dụng.
\(a_6=4\) thì \(\overline{a_1a_2a_3654a_7a_8a_90}⋮8\Rightarrow\overline{4a_7a_8}⋮8\Rightarrow\) \(\overline{4a_7a_8}=432;472\)
suy ra \(a_2=8\)
Số đã cho bây giờ có các dạng sau:
\(\overline{a_14a_325816a_90};\\ \overline{a_14a_325896a_90};\\ \overline{a_18a_365432a_90};\\ \overline{a_18a_365472a_90}\)
- Xét số \(\overline{a_14a_325816a_90}\)
\(a_1;a_3;a_9\) chỉ còn lựa chọn từ các số \(3;7;9\)
\(\overline{a_14a_3}⋮3\Rightarrow\left(a_1+4+a_3\right)⋮3\)
- \(a_1=3\) ta có \(\left(3+4+7\right)\) và \(\left(3+4+9\right)\) không chia hết cho 3 nên \(a_1=3\) loại
Tương tự \(a_1=7;9\) cũng không thõa mãn.
vậy \(\overline{a_14a_325816a_90}\) Loại.
- Xét số \(\overline{a_14a_325896a_90}\)
\(a_1;a_3;a_9\) chỉ còn lựa chọn từ các số \(1;3;7\)
Tương tự như trên ta xét \(\overline{a_14a_3}⋮3\) ta được hai trường hợp \(a_1=1;a_3=7;a_9=3\) và \(a_1=7;a_3=1;a_9=3\) thõa mãn.
Số đã cho có dạng:
\(\text{1472589630}\);
\(\text{7412589630}\)
- Xét số \(\overline{a_18a_365432a_90}\)
\(a_1;a_3;a_9\) còn 3 lựa chọn từ các số \(1;7;9\)
\(\overline{a_18a_3}⋮3\Rightarrow\overline{a_18a_3}=189;981;789;978\)
Số đã cho trong trường hợp này có dạng:
\(\text{1896543270}\)
\(9816543270\\ 7896543210\\ 9876543210\)
- Xét số \(\overline{a_18a_365472a_90}\)
\(a_1;a_3;a_9\) còn 3 lựa chọn từ các số \(1;3;9\)
\(\overline{a_18a_3}⋮3\Rightarrow\overline{a_18a_3}=183;381;189;981\)
Các số cần tìm trong trường hợp này có dạng:
\(\text{1836547290 }\\ 3816547290\\ 1896547230\\ 9816547230\)
Vậy chúng ta có 10 số cần tìm có thể như sau:
\(\text{1472589630 }\\ 7412589630\\1896543270\\ 9816543270\\ 7896543210\)
\(\text{9876543210}\\ 1836547290\\ 3816547290\\ 1896547230\\ 9816547230\)
Cuối cùng chúng ta kiểm tra tính chia hết cho 7.
Dùng dấu hiệu chia hết cho 7.
\(\text{1472589630}\) có \(1.3+4=7\rightarrow7.3+7=28\rightarrow28-28=0\rightarrow0.3+2=5\rightarrow5.3+8=23\rightarrow23-21=2\rightarrow2.3+9=15\)
\(15\) không chia hết cho 7 nên \(1472589\) không chia hết cho 7. Loại \(\text{1472589630}\)
Làm tương tự với những số còn lại ta có chỉ duy nhất số \(\text{3816547290}\) với \(\text{3816547}⋮7\)
Vậy có một số duy nhất thõa mãn bài toán là: \(\text{3816547290}\)
