Xét \(\Delta BSD\) và \(\Delta ASC\) ta có:

SB+SD\(\ge\)BD và SA+SC\(\ge\)AC

\(\Rightarrow\)(SB+SD)+(SA+SC)\(\ge\)BD+AC

\(\Leftrightarrow\)SA+SB+SD+SC\(\ge\)BD+AC

Mà khoảng cách từ S đến A, B, C, D là nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) SA+SB+SC+SD có giá trị nhỏ nhất

​\(\Rightarrow\)SA+SB+SC+SD = BD+AC​

\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}SA+SC=AC\\SB+SD=BD\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\)S thuộc AC và BD

\(\Leftrightarrow\)S là giao điểm của AC và BD

Từ 2 điểm B và C lần lượt hạ 2 đường cao BH và CK như hình vẽ

\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}CK=15+45=60\\AK=30-8=22\\BH=30+10=40\\HD=40-15=25\end{matrix}\right.\) 

Xét \(\Delta ACK\) vuông tại K, ta có:

\(AC^2\)=\(AK^2\)+\(CK^2\) (định lý Py-ta-go)

\(\Rightarrow\) AC =\(\sqrt{AK^2+CK^2}\) = \(\sqrt{22^2+60^2}\) \(\approx64\)

Xét \(\Delta BHD\) vuông tại H, ta có:

\(BD^2\)=\(BH^2\)+\(HD^2\) (định lý Py-ta-go)

\(\Rightarrow\)BD =\(\sqrt{BH^2+HD^2}\) = \(\sqrt{40^2+25^2}\) \(\approx47,2\)

Ta thấy: SA+SB+SC+SD có giá trị bé nhất\(\Leftrightarrow\)SA+SB+SC+SD=BD+AC (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\)min(SA+SB+SC+SD) \(\approx64+47,2=111,2\)

Vậy vị trí đặt nhà máy để khoảng cách đến 4 cổng A, B, C, D bé nhất là tại giao điểm của đoạn thẳng AC - BD

và min(SA+SB+SC+SD) \(\approx111,2\).