Gọi số bài thi của anh Đức trong năm đầu tiên, thứ hai, thứ ba, thứ tư và thứ năm lần lượt là \(3x,y,z,t,x\) với \(x,y,z,t\inℕ^∗\) và \(3x>y>z>t>x\). Theo đề bài, ta có \(4x+y+z+t=33\) hay \(y+z+t=33-4x\)

Từ điều kiện \(y>z>t>x\) ta suy ra được \(y+z+t>3x\), tức \(33-4x>3x\Leftrightarrow7x< 33\Leftrightarrow x< \dfrac{33}{7}\Rightarrow x\le4\)

Nếu \(x=4\) thì \(y+z+t=17\Rightarrow z=17-y-t\). Với chú ý rằng \(3x>y>z>t>x\Rightarrow\) \(11\ge y>z>t\ge5\), điều này có nghĩa là \(y+t\ge12\), dẫn đến \(z=17-y-t\le5\) (vô lí do \(z>5\))

Nếu \(x=3\) thì \(y+z+t=21\Rightarrow z=21-y-t\). Với chú ý rằng \(3x>y>z>t>x\Rightarrow\)\(8\ge y>z>t\ge3\),  từ đó\(y+t\le14\Rightarrow z=21-y-t\ge7\) ,mà \(z\le7\) \(\Rightarrow z=7\). Từ đây ta suy ra được \(y+t=14\). Mặt khác \(8\ge y>7\Rightarrow y=8\Rightarrow t=6\). Thử lại, ta thấy \(4x+y+z+t=4.3+8+7+6=33\) (nhận)

Nếu \(x=2\) thì \(y+z+t=25\)\(\Rightarrow z=25-y-t\). Với chú ý \(3x>y>z>t>x\Rightarrow5\ge y>z>t\ge2\), dẫn đến \(y+t\le8\) \(\Rightarrow z=25-y-t\ge17\) (vô lí do \(z< 5\))

Nếu \(x=1\) thì \(y+z+t=29\Rightarrow z=29-y-t\). Chú ý rằng \(3x>y>z>t>x\Rightarrow2\ge y>z>t\ge2\) (vô lí)

Ta chỉ tìm được 1 giá trị duy nhất là \(z=7\). Vậy năm thứ ba, anh Đức phải làm 7 bài thi.