Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn \(\left(r>0\right)\) \(\Rightarrow\) độ dài đường chéo của hình vuông lớn là \(2r\). Từ đó suy ra độ dài cạnh hình vuông lớn là \(\dfrac{2r}{\sqrt{2}}=r\sqrt{2}\)

Kẻ bán kính vuông góc với dây BC của đường tròn (O) tại H cắt cạnh của hình vuông nhỏ tại K. Dễ thấy \(OH=\dfrac{r\sqrt{2}}{2}\)

Gọi \(a\) là độ dài cạnh hình vuông nhỏ \(\left(0< a< r\sqrt{2}\right)\). Khi đó \(HK=a;AK=\dfrac{a}{2}\)

Tam giác OAK vuông tại K nên \(OA^2=OK^2+AK^2\Rightarrow r^2=\left(OH+HK\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2\) \(\Rightarrow r^2=\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+a\right)^2+\dfrac{a^2}{4}\) \(\Leftrightarrow r^2=\dfrac{r^2}{2}+ra\sqrt{2}+a^2+\dfrac{a^2}{4}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}r^2-ra\sqrt{2}-\dfrac{5}{4}a^2=0\) \(\Leftrightarrow2r^2-4\sqrt{2}.ra-5a^2=0\) \(\Leftrightarrow\left(r\sqrt{2}-5a\right)\left(a+r\sqrt{2}\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}r\sqrt{2}=5a\\a+r\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)

Ta thấy trường hợp 2 vô lí do a và r đều dương. Do vậy, ta chỉ xét 1 trường hợp duy nhất là \(r\sqrt{2}=5a\Leftrightarrow\dfrac{r\sqrt{2}}{a}=5\)

Như vậy tỉ số về độ dài cạnh giữa hình vuông lớn và hình vuông nhỏ là 5:1. Do đó tỉ số diện tích giữa hình vuông lớn và hình vuông nhỏ là 25:1