Gọi độ dài bán kính của hình tròn tâm O là r \(\Rightarrow\) độ dài đường kính là 2r.
Ta thấy: \(CD=DB\) (cùng là 1 cạnh của hình vuông ABDC)
\(\Rightarrow CD^2=DB^2\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào \(\Delta BCD\) ta được:
\(CD^2+DB^2=CB^2\)
\(\Leftrightarrow2DB^2=\left(2r\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2DB^2=4r^2\)
\(\Leftrightarrow DB^2=2r^2\)
\(\Leftrightarrow DB=\sqrt{2r^2}\)
\(\Leftrightarrow DB=r\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow S_{ABDC}=\left(r\sqrt{2}\right)^2=2r^2\)(đơn vị diện tích)
Từ O kẻ bán kính OG,OH ; hạ từ O một đường vuông góc với GH tại K.
Gọi độ dài 1 cạnh của hình vuông EFHG là s.
Ta thấy: OG = OH (cùng là bán kính của hình tròn tâm O)
\(\Rightarrow\) OK là trung trực của GH
\(\Rightarrow\) K là trung điểm của GH
\(\Rightarrow GK=\dfrac{GH}{2}=\dfrac{s}{2}\)
Lại thấy: \(OI=\dfrac{BD}{2}+FH\)
\(\Rightarrow OI=\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào \(\Delta OIG\) ta được:
\(OI^2+GI^2=OG^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\right)^2+\left(\dfrac{s}{2}\right)^2=r^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{s}{2}+\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\right)^2-2\cdot\dfrac{s}{2}\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\right)=r^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{s}{2}\right)^2+\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{2}\right)^2+s^2+2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot s+2\cdot\dfrac{r\sqrt{2}}{2}\cdot s-2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot\dfrac{r\sqrt{2}}{2}-2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot s=r^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{s^2}{4}+\dfrac{2r^2}{4}+s^2+s\left(r\sqrt{2}\right)-s^2=r^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{5s^2}{4}+s\left(r\sqrt{2}\right)+\dfrac{r^2}{2}-r^2=0\)
\(\Leftrightarrow s^2\cdot\dfrac{5}{4}+s\left(r\sqrt{2}\right)-\dfrac{r^2}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow5s^2+4s\left(r\sqrt{2}\right)-2r^2=4\cdot0\)
\(\Leftrightarrow5s^2+5s\left(r\sqrt{2}\right)-s\left(r\sqrt{2}\right)-\left(r\sqrt{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow5s\left(s+r\sqrt{2}\right)-r\sqrt{2}\left(s+r\sqrt{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(5s-r\sqrt{2}\right)\left(s+r\sqrt{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5s-r\sqrt{2}=0\\s+r\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5s=r\sqrt{2}\\s=-r\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}s=\dfrac{r\sqrt{2}}{5}\\s=-r\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
(Ta loại kết quả \(s=-r\sqrt{2}\) vì s là độ dài cạnh của hình vuông luôn là 1 số dương)
Vậy: \(s=\dfrac{r\sqrt{2}}{5}\)
\(\Rightarrow S_{EFHG}=\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{5}\right)^2=\dfrac{2r^2}{25}\)
Ta thấy: \(\dfrac{S_{ABDC}}{S_{EFHG}}=\dfrac{2r^2}{\dfrac{2r^2}{25}}=25\)
\(\Rightarrow\) Diện tích hình vuông ABDC (hình vuông màu xanh) gấp 25 lần diện tích hình vuông EFHG (hình vuông màu cam) (đpcm)
Vậy diện tích hình vuông màu xanh gấp 25 lần diện tích hình vuông màu cam.
