Cho biểu thức sau:
\(P=\frac{1}{1.2.3.4}+\frac{1}{2.3.4.5}+\frac{1}{3.4.5.6}+...+\frac{1}{97.98.99.100}\)
Hãy tính giá trị biểu thức \(P.3.98.99\)
-----------------------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Đáp án và giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 17/6/2016. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Bảy ngày 18/6/2016.
-------------------
Chúc mừng các bạn sau đây đã có lời giải hay và sớm nhất; Các bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của online Math.
Minh Hiền, Trường THCS Nguyễn Nghiêm, Thành phố Quảng Ngãi - Quảng Ngãi
Kaito, Trường THCS Đào Mỹ, Huyện Lạng Giang - Bắc Giang
Nguyễn Ngọc Anh Minh, Trường THCS Trần Đăng Ninh, Thành phố Nam Định - Nam Định
FZ, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Thành phố Vũng Tàu - Bà Rịa - Vũng Tàu
Nguyễn Mạnh Tuấn, Trường THCS Nguyễn An Ninh, Thành phố Vũng Tàu - Bà Rịa - Vũng Tàu
-------------------
Đáp án
Ta biểu diễn các phân số sau thành hiệu hai phân số:
\(\frac{1}{1.2.3.4}=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{1.2.3}-\frac{1}{2.3.4}\right)\) (có thể chứng minh bằng cách qui đồng mẫu số vế phải rồi biến đổi về vế trái)
\(\frac{1}{2.3.4.5}=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{2.3.4}-\frac{1}{3.4.5}\right)\)
. . . . . . . . . . . . .
\(\frac{1}{97.98.99.100}=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{97.98.99}-\frac{1}{98.99.100}\right)\)
------------------------------------------------------------------------------------
Cộng các đẳng thức trên vế với vế ta được: vế trái chính là biểu thức P, vế phải loại bỏ phân số cuối ở dòng trên với phân số tương ứng ở dòng dưới.
\(P=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{1.2.3}-\frac{1}{98.99.100}\right)\)
\(\Rightarrow P.3.98.99=\frac{98.99}{1.2.3}-\frac{98.99}{98.99.100}=49\times33-\frac{1}{100}=1616,99\)
Đáp số: 1616,99
-------------------
Chú ý: với cách làm tương tự, các bạn có thể rút gọn các biểu thức sau:
\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(B=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{98.99.100}\)
\(C=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{97.99}\)
