Có bao nhiêu cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn điều kiện sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}\)
--------------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ vào ô Gửi Ý kiến bên dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Đáp án và giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 20/5/2016. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Bảy ngày 21/5/2016.
--------------
Chúc mừng các bạn sau đây đẫ có lời giải hay và sớm nhất; Các bạn đã được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math.
Nguyễn Hoàng Tiến, Trường THCS Nguyễn Trường Tộ, Quận Đống Đa - Hà Nội
Lê Công Minh Hieu, Trường THCS Lê Quang Định, Thành phố Biên Hòa - Đồng Nai
Nguyễn Trang A1, Trường THCS Nghi Hải, Thị xã Cửa Lò - Nghệ An
Hoàng Phúc, Trường THCS Huỳnh Khương Ninh, Thành phố Vũng Tàu - Bà Rịa - Vũng Tàu
Phan Thanh Tịnh, Trường THCS Nguyễn Huệ, Quận Hải Châu - Đà Nẵng
-----------
Đáp án
Từ đẳng thức:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}\)
ta tính một biến theo biến còn lại:
\(\frac{1}{x}=\frac{1}{24}-\frac{1}{y}=\frac{y-24}{24y}\)
\(\Rightarrow x=\frac{24y}{y-24}\)
Do x là số tự nhiên khác 0 nên \(y-24>0\), đặt \(y-24=k\) (để cho mẫu số vế phải là đơn thức). Khi đó:
\(y=24+k\)
\(x=\frac{24\left(k+24\right)}{k}=24+\frac{24.24}{k}\)
Vậy để x và y là các số tự nhiên thì k là ước số của 24.24. Ta có 24.24 = (23.3)(23.3) = 26.32 nên 24.24 có (6 + 1)(2 + 1) = 21 ước.
Với mỗi giá trị của k là ước của 24.24 ta tính được một bộ (x, y) theo công thức trên.
ĐS: có 21 cặp số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đã cho.
Chú ý:
- Đối với các bạn tiểu học chưa học lũy thừa thì có thể liệt kê 21 ước của 24.24 mà không cần phải tính số ước bằng cách phân tích thành lũy thừa các số nguyên tố.
- Phương pháp đặt ẩn phụ (trong bài này đặt k = y - 24) thường được dùng trong một số bài toán ở bậc Trung học phổ thông.
